Probabilidades en un examen tipo test
…o cómo el azar está de tu lado para sacar más nota
Estas haciendo un examen tipo test, hay cuatro preguntas que no sabes contestar y responder erróneamente te va a restar puntos. Si decides contestar las cuatro preguntas al azar lo más probable es acabar con más puntos que si no respondes a ninguna. Esta afirmación parece correcta, teniendo en cuenta que si hay cuatro preguntas con cuatro opciones de respuesta es lógico suponer que lo más probable es fallar tres veces y acertar una, si suponemos que acertar suma un punto y fallar resta , en el caso más probable nos quedaremos igual. ¿Merece la pena arriesgarse? ¿Ocurre lo mismo con un número distinto de respuestas al azar? Resulta que las matemáticas tienen algo que decir al respecto…
Los exámenes de tipo test presentan una serie de respuestas de las que hay que elegir, normalmente, una respuesta correcta. En algunos exámenes tipo test hay más de una respuesta correcta, a veces los fallos restan puntos, puede haber respuestas ponderadas o un límite de preguntas que se pueden fallar.
¿Puedo aprobar si hago un examen tipo test sin estudiar?
La idea de este artículo es responder a preguntas del estilo: ¿Puedo aprobar si hago un examen tipo test sin estudiar? ¿La probabilidad está de mi lado si contesto aleatoriamente? ¿Pasa lo mismo en cualquier tipo de test? ¿Cual es la diferencia si los fallos restan o si no? ¿Qué probabilidad tengo de aprobar si contesto la mitad al azar? ¿Y si estoy seguro de la mitad? ¿Y de sacar un notable? ¿Y un sobresaliente?…
Si los fallos no restan…
Empezamos en el examen tipo test más sencillo, los aciertos suman, los fallos y las respuestas no contestadas no afectan a la nota.
Calculando la nota…
Definamos algunos nombres de variables:
N=Número total de preguntas
a=Número de aciertos
n=Nota final
Si suponemos que la nota es un número del 0 al 10 y el examen tiene 10 preguntas el cálculo de la nota es trivial. La nota obtenida es igual al número de preguntas acertadas:
…con un baremo
Si el examen tiene un número de preguntas distinto al baremo de la nota, para obtener la nota final hay que dividir el número de aciertos entre el número de preguntas y multiplicar por límite superior del baremo.
Por ejemplo: Si el baremo es del 0 a 10 y hay 40 preguntas en el examen, para sacar un 5 hay que acertar 20 preguntas. Esto es, número de preguntas acertadas entre número total: 20 / 40 = 0.5 y multiplicamos el resultado por el límite superior del baremo: 0.5×10 = 5.
Generalizando, para calcular una nota en un examen tipo test en el que no restan los fallos y tenemos un baremo:
bₛ = Límite superior del baremo
Calculando probabilidades…
Es bastante obvio que independientemente de si sabes o no las respuestas, si los fallos no restan puntos, la mejor opción es contestar a todo. Digamos que en cuestión de puntos, no tienes, literalmente, nada que perder.
En cualquier caso, formalicemos el asunto con algo de matemáticas, ¿cuántas combinaciones de respuestas son posibles? y ¿de qué depende este número?
…con una pregunta
El caso trivial es con una única pregunta. Si tenemos 4 opciones de respuesta: a,b,c,d. Hay 4 posibilidades:
La probabilidad de que ocurra un evento es el número de eventos posibles entre las veces que ocurre el evento en cuestión. En este caso hay 4 eventos posibles, sólo 1 implica acertar y 3 fallar:
La probabilidad de acertar respondiendo al azar una pregunta es de una entre cuatro: 1/4 = 0.25. Normalmente decimos un 25% de probabilidad de acertar.
La probabilidad de fallar sería tres entre cuatro: 3/4 = 0.75. O sea un 75%.
Como vemos, en este caso una respuesta al azar tiene todas las de perder. También es interesante observar que si sumamos las dos probabilidades obtenemos el 100% ya que, en este caso, sólo hay dos resultado posibles: acertar o fallar. Veremos que este no es el caso si hay más de una pregunta.
En resumen…
…con dos preguntas (o más)
Con dos preguntas podemos contestar por ejemplo: a en la primera y a en la segunda, a en la primera y b en la segunda, b en la primera y a en la segunda… Estas son todas las posibles combinaciones:
Estos son, en definitiva, todos los eventos posibles contestando a dos preguntas. Son 16. Cuatro veces más posibilidades que con una pregunta. Este 4 viene del hecho de que tenemos 4 opciones de respuesta, y lo que ocurre es que cada vez que añadimos una pregunta estamos multiplicando por 4 las posibles combinaciones de respuestas:
p₁=Número de opciones de la pregunta 1
p₂=Número de opciones de la pregunta 2
c₂=Número de combinaciones de dos respuestas
La fórmula sería:
En este caso:
En general, simplemente hay que multiplicar por el número de opciones, tantas veces como preguntas haya:
Esta fórmula es fácil de simplificar, teniendo en cuenta que el número de opciones siempre es el mismo: p₁= p₂= p₃= …= pₙ. Si definimos:
n=Número de preguntas
p=Número de opciones en cada pregunta
El número de combinaciones se calcula así:
En este caso, con p = 4 y n = 2:
El siguiente paso es calcular las probabilidades. En este caso hay tres sucesos posibles:
- Acertar todas las preguntas.
- Acertar una pregunta (y fallar la otra).
- Fallar todas las preguntas.
Teniendo en cuenta todos los eventos posibles, sólo hay un caso en el cual se aciertan todas las preguntas, suponiendo que las dos respuestas correctas son la a:
Por lo tanto la probabilidad de acertar las dos preguntas es de 1/16 = 6.25%.
Generalizando, la probabilidad de acertar todo dado un número n de preguntas es de 1 entre todas las combinaciones posibles de respuestas, o sea:
Una probabilidad de un 6.25% ya es bastante baja, pero veamos como este porcentaje disminuye drásticamente según aumentamos el número de preguntas que contestamos al azar. Por ejemplo, con 10 preguntas:
Como vemos, hay más de un millón de posibles combinaciones, por lo tanto, la probabilidad de acertar todas las respuestas al azar es ínfima.
… de hecho, es bastante más probable que te toque la lotería.
Pero no seamos tan ambiciosos, no hace falta acertar todas. ¿Qué probabilidad hay de acertar alguna? Suponiendo de nuevo que las respuestas correctas son la a, estas son las veces que acertamos una respondiendo a dos preguntas:
Nótese que no hemos resaltado aa porque son dos aciertos, no uno.
Contamos con 6 posibles combinaciones que nos dan una repuesta acertada, la probabilidad está más de nuestro lado:
La probabilidad de acertar algo sería la suma de las dos anteriores, o lo que es lo mismo, añadir la posibilidad de acertar todo a las posibilidades de acertar una:
No está mal, para haber contestado todo al azar.
Lo único que nos queda es saber la probabilidad de fallar todo, y dado que es el único suceso que nos queda la probabilidad será lo que reste para llegar al 100%, o lo que es lo mismo, el resto de combinaciones posibles si restamos los aciertos:
Así que la probabilidad de fallar supera el cincuenta por ciento, por lo que podemos apostar que seguramente no sumaremos puntos contestando dos preguntas al azar.
Y así quedaría la tabla de resumen añadiendo las probabilidades con dos preguntas:
Cada Pₙ tiene su fórmula correspondiente. Hemos visto la de Pᵗₙ, que es la más sencilla de calcular. Más adelante veremos el resto.
Todo este cálculo de probabilidades es muy interesante, pero si los fallos no restan, no resulta muy relevante, ya que siempre merece la pena contestar a todo, independientemente de la probabilidad de éxito o fracaso. Veamos que pasa cuando…
…los fallos restan
Para que todas las probabilidades que calculamos tengan razón de ser, vamos a ver que pasa cuando hacemos el examen tipo test más común, en el cual, los fallos restan. En concreto, lo más normal es que resten un 0.33 en un examen con 4 opciones de respuesta. O sea:
Ahora podemos intentar contestar a la pregunta: ¿Merece la pena arriesgarse a contestar las preguntas que no sabemos al azar?
La respuesta depende de cual es la probabilidad de sumar puntos y cuántos puntos sumamos en cada caso.
Calculando cuántos puntos sumamos…
En primer lugar, volvemos a enumerar las variables que teníamos definidas para calcular la nota y añadimos una más para el número de fallos:
N=Número total de preguntas
a=Número de aciertos
n=Nota final
f = Número de fallos
bₛ= Límite superior del baremo
En el caso más sencillo, si hay 10 preguntas y el baremo de la nota es de 0 a 10, la fórmula para calcular la nota multiplica por 1 el número de respuestas correctas y por 0.33 el número de respuestas incorrectas, restando su valor:
Por ejemplo, contestando 6 preguntas bien, 2 preguntas mal, dejando 2 sin contestar, obtenemos: 1⋅ 6 - 0.33⋅ 2 = 5.34
Si añadimos un baremo, la fórmula queda así:
…y ahora con probabilidades
Con todas estas fórmulas ya podemos calcular la ganancia o pérdida de puntos en cada uno de los casos posibles. Con una pregunta, si contestamos a todo, hay dos casos:
En este caso trivial, ganamos 1 punto si acertamos y perdemos 0.33 si fallamos. Con dos preguntas, si contestamos a todo, hay tres casos posibles:
Pero en realidad, ahora hay más casos posibles, ya que existe la opción de no contestar. Con una pregunta existe la opción de no contestarla y con dos preguntas existe la opción de no contestar una o de no contestar las dos.
Añadiendo estos casos, nos queda:
Es importante destacar que cuando no contestamos una pregunta estamos básicamente modificando el número de preguntas a tener en cuenta, o sea, si con dos preguntas dejamos una sin contestar estamos pasando a la situación en que sólo tenemos una pregunta.
Dicho de otra forma: el caso de Acertar todas con una pregunta es el mismo de Acertar una sin contestar otra con dos preguntas. Así que vamos a eliminar esta columna y la última, ya que no contestar ninguna es, a efectos prácticos, como no hacer el examen:
Así podemos tener una idea de cuanto ganamos o perdemos y cual es el riesgo de cada decisión que tomamos. Por ejemplo, podríamos hacer el siguiente razonamiento:
Se podría llegar a pensar que no era necesario hacer todos estos cálculos para llegar a esta conclusión y que con algo de intuición se podría llegar a un razonamiento parecido, pero si complicamos las cosas añadiendo casos y preguntas posibles, tener un sistema formal en que podamos basar nuestros razonamientos es muy útil.
Combinatoria
Para poder generalizar los cálculos anteriores y crear fórmulas que nos permitan averiguar probabilidades para cualquier número de elementos, por grande que sea, nos ayudaremos de la combinatoria.
Es una rama de las matemáticas que nos permite calcular las combinaciones de elementos mediante fórmulas. Cuando hay pocos elementos la fórmulas no son especialmente útiles, pero con muchos, calcular las combinaciones a mano es inviable.
Vamos a empezar agrupando estos dos elementos: A y B, de varias formas. Estas son todas las combinaciones posibles:
Se puede ser más restrictivo, por ejemplo, indicando que no se puede repetir letras. Así nos quedan:
En combinatoria, al primer caso se le llama variaciones y al segundo permutaciones:
Quien ya conozca los conceptos de variaciones y permutaciones sabe que hay más tipos específicos que no se han mencionado, en este este artículo empezamos utilizando una terminología poco ortodoxa para simplificar la explicación.
Vamos a probar con tres elementos: A, B y C:
Vamos a ver otra forma de generar las variaciones y permutaciones que puede resultar aclaratoria. En las variaciones estamos generando palabras de tres letras, lo que significa que en cada posición tenemos la opción de elegir entre una de las tres, esto significa: 3 letras posibles en la primera posición, 3 en la segunda y 3 en la tercera.
Por cada elección, disponemos de tres nuevas elecciones y por lo tanto el número posibilidades se calcularía así:
Escrito de otra forma: 3³ = 27
O sea, multiplicamos el número de letras tantas veces como posiciones queramos rellenar. Generalizando:
n = Número de elementos
k = Número de posiciones
Por ejemplo, si queremos calcular el número de palabras posibles de 5 letras usando todas las letras del alfabeto. El número de elementos son las 27 letras del alfabeto y las posiciones son 5. Por lo tanto:
27⁵ = 14348907 palabras posibles
En el caso de las permutaciones, no se permite repetir elemento. Con los elementos A, B y C empezamos con tres opciones posibles, pero para la segunda posición sólo tenemos dos opciones, ya hemos usado una letra, y por último, nos que da una única opción para la última posición. Quedaría así:
Para hacer una fórmula general, a este concepto de multiplicar números por su anterior se le llama factorial y se escribe con una exclamación colocada después del número inicial, de esta forma:
La siguiente complicación es calcular el número posibilidades usando n elementos y k posiciones pero sin poder repetir elementos. Por ejemplo, en una carrera de de 12 corredores, ¿de cuántas formas se pueden repartir las medallas? Hay tres medallas, por lo tanto, tres posiciones. Para el oro hay 12 posibilidades, plata 11 y la bronce 10. Como un corredor no puede ganar más de una medalla por lo que las variaciones son sin repetición. Lo calculamos así:
La fórmula general para calcular las variaciones sin repetición parece algo más compleja que las anteriores, pero como vemos en el ejemplo anterior no es más que un factorial aplicado k veces:
La última complicación que tenemos que utilizar es el concepto de combinaciones. Esto es agrupar n elementos en k posiciones sin repetición y además, ignorando el orden. En el caso de A y B eliminaríamos los casos que repiten letras y el los casos que usen las mismas letras:
Como vemos, las combinaciones de 2 elementos en 2 posiciones es igual a 1. Parece fácil, pero la fórmula que genera este número es la más complicada de todas.
Para ilustrar la idea un poco mejor vamos a ver las permutaciones, variaciones y combinaciones de 3 letras (A, B y C) en dos posiciones:
Resulta que las combinaciones son las variaciones sin repetición divididas entre las permutaciones, lo que se resume en la siguiente fórmula:
Esta formalización del cálculo de posibilidades nos va a ser útil, especialmente al calcular las probabilidades de acertar 2, 3, 4, 5… preguntas.
Por ejemplo, si tenemos 4 preguntas y queremos saber las posibles formas de acertar 2 preguntas necesitamos las combinaciones de 4 elementos en 2 posiciones:
Todo junto
Ahora ya tenemos fórmulas para calcular el número de todas posibilidades y las posibilidades de acertar n preguntas, así que ya disponemos de todo lo necesario para calcular la probabilidad de acertar o fallar cualquier número de preguntas.
Para calcular todas las posibilidades sólo hay aplicar la fórmula de las variaciones: nᵏ, siendo este número el cociente en el cálculo de cualquiera de las probabilidades.
Para calcular las posibilidades de acertar k en un examen con n preguntas debemos calcular la combinaciones con la fórmula del apartado anterior y multiplicar por las posibilidades de fallar el resto de preguntas. Así obtendremos todas las combinaciones posibles:
n = Número de preguntas
k = Número de aciertos
o = Número de opciones
Una forma común de escribir las combinaciones es colocando entre paréntesis la n encima de la k, además el número opciones en caso que estamos tratando siempre es 4 y así podemos simplificar la fórmula anterior como:
Y por último si queremos calcular la probabilidad de acertar k en un examen de n preguntas sólo hay que dividir las posibilidades de acertar entre todas las posibles combinaciones:
Un ejemplo:
¿Probabilidad de acertar 5 en un examen de 10 preguntas?
Y ahora añadimos la fórmula para calcular nota que usamos anteriormente, siendo a los aciertos y f los fallos:
Así que con únicamente estas dos fórmulas y a estamos equipados para contestar a las preguntas: Si contesto n preguntas al azar ¿qué probabilidad tengo de sumar puntos?
Veamos una tabla con todas la probabilidades de acertar en un examen de 10 con preguntas:
Si queremos saber la probabilidad de perder puntos sumaríamos los tres primeros casos:
La probabilidad de sumar puntos es la suma de los casos del 3 al 10, o lo que es lo mismo, restar 100 al porcentaje anterior:
Por lo tanto, contestando al azar 10 preguntas sería más probable estar puntos que sumarlos (pero sin mucha diferencia). Otra pregunta más interesante podría ser:
¿Qué probabilidad tengo de aprobar contestando las 10 al azar?
Suponiendo que para aprobar hay que sacar un 5 contestando todas sólo conseguimos llegar al 5 si acertamos 7, 8, 9 o 10, así que sumando las probabilidades de que eso pase tenemos:
Como era de esperar, la probabilidad contestando todas las preguntas al azar es muy pequeña, de hecho, es menor al 1%.
Un caso más practico…
Pero vamos a un caso más realista: Si estoy bastante segundo de aprobar y me quedan 3 preguntas por contestar ¿tendría sentido contestarlas al azar? ¿sería más probable que sumara o que restara puntos a mi calificación? en definitiva, ¿merece la pena?
Veamos la tabla de probabilidades para 3 preguntas contestadas al azar:
La probabilidad de sumar puntos es 57.8125% y solo restaríamos puntos fallando todas, con un 42.1875% de probabilidad de que pase. Por lo tanto, en este caso, el azar está ligeramente de nuestro lado, así que la respuesta es:
Sí, merece la pena.
Los estadísticos ya lo sabían todo
Todo el proceso que hemos hecho nos ha permitido crear nuestra propias herramientas a partir de operaciones aritméticas básicas para interpretar términos de estadística y probabilidad que estas ramas de las matemáticas ya están definidos y resueltos desde hace muchos años.
Sin entrar en detalle, cabe mencionar que el modelo se adecua a esta situación nos permite contestar a estas preguntas aplicando sus fórmulas es la distribución binomial.
Para definir una distribución binomial hacen falta dos parámetros: número de sucesos n y probabilidad de ocurrencia p. En nuestro caso n es el número de preguntas del test y p la probabilidad de acertar una opción posibles, o sea 1/4.
Para calcular una probabilidad usando esta distribución hay que aplicar la siguiente fórmula:
n = Número de preguntas
x = Número de aciertos
p = Probabilidad de acertar una pregunta al azar
Para el caso que nos atañe:
A esta fórmula se le llama función de probabilidad y es equivalente a la que hemos deducido anteriormente, de hecho se puede utilizar para calcular las tablas de probabilidad obteniendo los mismos resultados.
Conclusión
En casos concretos la estadística está de tu lado, por lo general, cuando no tienes mucho que perder pero poco que ganar. Así que mejor…
. . . estudia.
